递增元序列 (Increase Unit Notation)，简称IUN，是我第一个完全原创的较为强大的记号。

(资料图片)

本文约11000字，大部分内容是分析大小，讲原理的部分相对不复杂，但难度同样不低。

目录：1：概念与定义2：1,2,2,2,3之前的序列3：1,2,2,3，等于Γ₀4：序列中的ψ外壳5：解锁反射序数记号6：IUN的极限7：历史和扩展

本文分为上中下三个部分，本部分为中，包含“序列中的ψ外壳”、M之前的“解锁反射序数记号”两个内容。

4：序列中的ψ外壳

1,2,2,3之后，整个序列复杂了很多，如果提前告诉你1,2,2,3,1,2,2,2,3就是BHO你可能不敢相信，同时前面也有不少规则需要更改。

首先，1,2,2,3,1,1,2,2,3等于什么？待坏项是“2”，整个序列中没有单独的“2”作为后继元，所以坏根是首项？不。待坏项，它也是一个后继元，也可以有自己的待坏项。待坏项的待坏项称为二阶待坏项，后面也有更高阶的待坏项。    对于任何后继元，高阶待坏项的终点一定是“1”。从1,2,2,3,1,1,2,2,3出发，一阶待坏项是“2”，二阶待坏项则是“1”。所以在序列中，不仅可以找一阶待坏项，也可以找二阶待坏项，即1,2,2,3,1,1,2,2,3。现在结论很简单了，坏根是这个1的下一项，1,2,2,3,1,1,2,2,3=1,2,2,3,1,1,2,2 2,3,3 3,4,4 4,5,5,...。这个式子就是

1,2,2,3之后IUN的强度迅速增加，从这个表达式就可以看出：1,2,2,3,1,2,1,2,2,3。2,3，待坏项是“2”和“1”，但是整个表达式中也没有这样的待坏项，因此坏根是首项。所以1,2,2,3,1,2,1,2,2,3，展开式是1,2,2,3,1,2,1,2,2 2,3,3,4,2,3,2,3,3 3,4,4,5,3,4,3,4,4,...，这里出现了1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4，它等于1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,...，是

在1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4后面加上1,2,2,3之前的结构，才有1,2,2,3之前的那些特征：    1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,1,2,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,1,2,2,2,3,3=                        1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,1,2,2,2,3,3,4=1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,...相当于把嵌套到了结构，也就是    1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2是。   1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2,3=1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,  3,3,4,2,2,3,3,4,2,2,3,3,4,2,...=。    1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2,3,2,3,3,3,4,4,5=              1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2,3,2,3,3,3,4,4,5,2,3,3,3,4=    1,2,2,3,1,2,1,2,2,3，看起来像Γ₀²，实际上已经是了。    1,2,2,3,1,2,2=

现在又出现了一种新的情况：1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3。末后继元2,3的待坏项是“2”，整个序列中是有“2”这个后继元，但是把它的下一项作为坏根，相当于展开末尾的1,2,2,3，与前面的1,2,2,3,1,2,1,2,2,3差别相当大。

现在，要加一个要求：在待坏项与末项不在同一个递增元时，待坏项的递增元位差不能低于末递增元差。末递增元差是指最后一个递增元的末项减首项；待坏项的递增元位差则指“待坏项的末项减去待坏项所在递增元的首项”。    所以，1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3，这个待坏项的递增元位差是2-1=1，而末递增元差是3-1=2；因为2>1，所以不能选取这个待坏项，那么坏根就只能是首项了。

1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3=1,2,2,3,1,2,2,1,2,2 2,3,3,4,2,3,3,2,3,3 3,4,4,5,3,4,4,3,4,4,...    根据1,2,2,3,1,2,2=    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,2,3,3,4=    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3是

后面的序列分析起来就不算难了：    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,1,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3=       1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2=    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,2,2=    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3=    每次出现ω的时候，后面加上一个1,2,2,3表示给ω嵌套φ函数ω次    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2=   1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2=           1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2=    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3=                     1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2=        1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,2,2,2=，也就是SVO

TREE(3)下界的FGH序数是1,2,2,3,1,2,2,2,2,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2,3,3,3,3    1,2,2,3,1,2,2,2,2,1,2,2,3是LVO

停。现在换一种表述方式，用Buchholz's OCF来描述，一切就变得直观多了。    1,2,2,3=1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2=    1,2,2,3,1,2,1,2,2,3=，可以发现用1,2做分隔，表示了在ψ里面加起来    1,2,2,3,1,2,2=    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3=，没错，1,2,2,3就是OCF里面的Ω1,2,2,3,1,2,2,2=    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2=    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,2,2,2=    1,2,2,3,1,2,2,2,2,1,2,2,3=

在1,2,2,3的后面，紧跟的东西就是在ψ里对Ω的运算，这样下来，1,2,2,3,1,2,2,2,3是BHO就显得合理了。

在OCF中，1,2,2,3之后，1,2,2,X实质上就是ψ(X)；也就是说，1,2,2,3之后发生的变化，是给序列套上了一个ψ外壳。    1,2,2,3,1,2,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,2,2,3,1,2,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,2,2,3,1,2,2,3=    1,2,2,3,1,2,2,2,3,2=    1,2,2,3,1,2,2,2,3,2,2,3=    在Ω₂面前，1,2,2,3逐渐显得无力    1,2,2,3,1,2,2,2,3,3,4,2,3,3,3,4=    1,2,2,3,1,2,2,3=1,2,2,3,1,2,2 2,3,3,4,2,3,3 3,4,4,5,3,4,4,...=    1,2,2,3,2=    1,2,2,3,2,3,3,4=    1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,3,4=    1,2,2,3,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,4,5=                              1,2,2,3,3=

1,2,2,3,3出现了。现在，原本充当Ω的1,2,2,3，现在该用来表示ψ₁了。    1,2,2,3,3,1,2,1,2,2,3,2,3,3,4,4,2，等于                    1,2,2,3,3,1,2,1,2,2,3,3，就可以顺利成为               有了ψ₁的铺垫，1,2,2,3,3,1,2,2,2,3和1,2,2,3,1,2,2,2,3类似，可以到达    1,2,2,3,3,3，，同样地，1,2,2,3,3会表示ψ₂    现在结果很明显了，1,2,2,3,3,3,4=1,2,2,3,3,3,3,3,3,3,...，是BO，

1,2,2,3,3,4=，1,2,2,3,3,4,4,5=              ，...

1,2,3=1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,...，达到OFP，即。

5：解锁反射序数记号

在1,2,3之后，序列的结构越来越复杂，同时IUN的最后一个规定出现。    1,2,3,3,2,3,4,3,4,5,5，末后继元是5，待坏项是“4”，序列中显然没有单独的“1”“2”“3”或“4”，不过这里的坏根依然不是首项。前面提到“找两个相同后继元的展开方式称为等差展开”，为什么叫“等差展开”？就是因为这两个后继元可以是不相同的，是等差的也可以；这个所谓的等差，指的是：两个后继元的首项与整个序列的末项-1成等差数列，同时两个后继元的项一一对应的差是相等的。    看向1,2,3,3,2,3,4,3,4,5,5，2,3,4和3,4,5，这两个后继元是等差的，同时其首项2,3也和最后一项-1成等差，因此其中的后一个后继元的首项是坏根，即1,2,3,3,2,3,4,3,4,5,5=1,2,3,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,...

另外，这两个等差的后继元中，后一个后继元可以不是完整的后继元，但这种情况只能是与末项组成完整的后继元，如1,2,3,3,4,4,5,6=1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,...

在使用I分析之前，可以先用相对简单的Φ函数。，其余的规则与相同。    1,2,3=    1,2,3,1,2,1,2,2,2,3,4= 1,2,3,1,2,1,2,2,2,3,4,1,2,2,2,3=            1,2,3,1,2,1,2,2,3=    1,2,3,1,2,1,2,2,3,4=    1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2= 1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,1,2,2,3,4=    1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,2,3=    1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,3,4=    1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,2,3,2,3,3,4,5=    1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,2,3,2,3,3,4,5,2,3,3,3,4=              1,2,3,1,2,1,2,3==    1,2,3,1,2,2=    1,2,3,1,2,2,1,2,3=    1,2,3,1,2,2,2,3=    1,2,3,1,2,2,3=参考1,2,2,3,1,2,2,3    1,2,3,1,2,2,3,3,3,4=    1,2,3,1,2,2,3,4=    1,2,3,1,2,3=    1,2,3,2=    1,2,3,2,3,=    1,2,3,2,3,2,3,4=    1,2,3,2,3,3=    1,2,3,2,3,3,3=    1,2,3,2,3,3,4,5=    1,2,3,2,3,4=

未完待续...