1、三垂线定理 三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

2、 三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

【资料图】

3、1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射 影),a(直线)之间的垂直关系. 2,a与PO可以相交,也可以异面. 3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理. 关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线. 至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的. 从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂, 二射,三证.即 第一,找平面(基准面)及平面垂线 第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与 一条斜线. 第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直. 注: 1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找"基准面"这个参照系 用向量证明三垂线定理 已知:PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b垂直OA，求证:b垂直PA 证明:因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为OA垂直b 向量PA=(向量PO+向量OA) 所以向量PA乘以b=(向量PO+向量OA)乘以b=(向量PO 乘以 b) 加 (向量OA 乘以 b )=O， 所以PA垂直b。

4、 2)已知:PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b垂直PA，求证:b垂直OA 证明:因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为PA垂直b， 向量OA=(向量PA-向量PO) 所以向量OA乘以b==(向量PA-向量PO)乘以b=(向量PA 乘以 b )减 (向量PO 乘以 b )=0， 所以OA垂直b。

5、 2。

6、已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，角AOB=角BOC=角COA=60度，求交线OA于平面OBC所成的角。

7、 向量OA=(向量OB+向量AB)，O是内心，又因为AB=BC=CA，所以OA于平面OBC所成的角是30度。

8、射影就是正投影，从一点到过顶点垂直于底边的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。

9、一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。

10、 直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

11、每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

12、 公式 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下: (1)(BD)^2;=AD·DC， (2)(AB)^2;=AD·AC ， (3)(BC)^2;=CD·AC 。

13、 证明:在 △BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，又∵∠BDA=∠BDC=90°，∴△BAD∽△CBD相似，∴ AD/BD=BD/CD，即(BD)²=AD·DC。

14、其余类似可证。

15、(也可以用勾股定理证明) 注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。

16、由公式(2)+(3)得: (AB)^2;+(BC)^2;=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=(AC)^2;， 即 (AB)^2;+(BC)^2;=(AC)^2;。

17、 这就是勾股定理的结论。

18、 [编辑本段]任意三角形射影定理 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”: 设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a=b·cosC+c·cosB， b=c·cosA+a·cosC， c=a·cosB+b·cosA。

19、 注:以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

20、 证明1:设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且 BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可证其余。

21、 证明2:由正弦定理，可得:b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其它的。

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